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전자기학 공부 너무 어려운데 팁좀 - 물리학 갤러리
지금 전자기학 공부하는 중인데David J. Griffiths 책으로 공부중.과목상으로 전자기학 2를 공부하는중인데, 전자기학1 내용을 거의 다 까먹어서 애먹고 있음.전기역학이랑 보존법칙 단원 하고있는데, 머리에 너무
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에 대해 예전에 정리해둔 건데 허접하지만
이것들이 좌표 변환에 대한 반응으로 결정된다는 게
무슨 소린지 감 잡는데는 도움이 될 수도 있을 것 같음.
양자역학처럼 고전물리에 나오는 벡터, 텐서 등도 결국 표현론의 얘기임.
그리피스 앞부분 보면 회전변환 가지고 불변량이면 스칼라고,
이렇게 변환되면 벡터고, 저렇게 변환되면 텐서다,
이런 식으로 얘기해 놨는데
그게 무슨 말이냐면 좌표계를 바꾸면(이 경우엔 회전시키면)
벡터나 텐서를 표현하는 기저들도 회전되어야 하는데(우리는 좌표축 방향의 기저 벡터를 쓰기 때문에),
좌표계라는 건 뭔가를 기술하기 위해 인위적으로 도입한 틀이기 때문에
좌표계를 회전시킨다고 물리적, 기하학적 양인
벡터나 텐서의 방향이 바뀌어선 안 된다는 얘기임.
예를 들어 사과가 떨어지는 걸 기술할 때
위쪽 방향이 양이 되도록 1차원 좌표를 잡으면
기저 벡터는 위를 향하는 셈이고 중력의 크기는 음수가 되고,
아래쪽 방향이 양이 되도록 잡으면
기저 벡터가 아래를 향하는 셈이므로 중력의 크기는 양수가 되며,
이는 중력의 방향이 (당연히) 좌표계와 기저 벡터의 방향에 상관 없이 연직 아래 방향이기 때문임.
더 나아가서 사과의 낙하를 고개를 어떤 각도만큼 기울여서 본다고 해서
중력의 방향이 달라지는 게 아님.
물리학에서 말하는 벡터의 정의는 이와 같이
따지고 보면 물리 이론에 등장하는 양들로써
지극히 당연하게 성립해야 할 성질들을 캐치한 것임.
좌표 변환과 그에 따른 기저의 변환에 대해 성분들은 그 변화를 상쇄하도록 변환되어야 함. 텐서도 마찬가지.
생각할 수 있는 좌표 변환은 당연히 무수히 많은데
고전역학이나 전자기학, 비상대론적 양자역학 등에선
기본적으로 3차원 공간의 회전변환만을 생각함.
따라서 질량, 온도, 길이, 벡터의 크기, 운동에너지, 전하량, 전하 밀도 등은 스칼라,
속도, 운동량, 가속도, 각운동량, 전기장, 자기장 등은 벡터가 됨.
관성 모멘트, 응력(스트레스), 편극률 등은 텐서가 됨.
특수상대론을 고려하게 되면 로렌츠 변환을 생각함.
로렌츠 변환은 민코프스키 거리를 보존하는 회전 변환으로
4차원 시공간에서 3차원 공간의 회전과
로렌츠 부스트(흔히들 말하는 상대속도를 갖는 관성계들 간의 로렌츠 변환)로 이루어짐. (그리피스 12장에 자세히 나옴)
따라서 길이는 더 이상 스칼라가 아님.
알다시피 3차원 공간의 회전에 대해선 불변이지만 로렌츠 부스트에 대해선 길이 수축이 일어나 불변이 아니니까.
운동에너지도 스칼라가 아님. 로렌츠 부스트하면 속도가 바뀌므로 속도의 크기도 바뀜.
전하량은 스칼라지만 전하 밀도(=단위 부피당 전하량)는 스칼라가 아님.
회전 변환에 대해선 부피가 보존되지만, 로렌츠 부스트를 하면 길이 수축이 일어나 부피도 수축되기 때문임.
속도나 운동량도 벡터가 아님.
특수상대론을 고려하는 맥락에선 (시간, 위치벡터)의 조합이 로렌츠 변환되는 형태와 같은 형태로 변환되는 양으로 벡터를 정의함.
이를 4-벡터(four-vector)라고 함.
(시간, 위치벡터), (에너지, 운동량 벡터), (전하밀도, 전류벡터) 등이 4-벡터의 예시임.
로렌츠 스칼라는 질량, 전하량, 민코프스키 시공 간격 등이 있음.
전기장, 자기장은 정지관찰자가 본 등속운동하는 전하가 만드는 전자기장과
전하를 따라가는 고유 관찰자가 본 전자기장(= 정전하의 전자기장)을
직접 계산해서 비교해보면
장의 성분에 로렌츠 변환의 행렬 성분이 두 개씩 붙게 되어서
벡터가 아니라 텐서가 됨. 이를 패러데이 텐서라고 함.
일반상대론에선 모든 종류의 좌표변환을 생각함.
그 외에 유사 스칼라, 유사 벡터, 텐서 밀도, 스피너 등의 관련 개념이 있음.
자세한 얘기는 수리물리나 상대론 책을 참고하면 될 것임.
물리적으로는 그렇고 수학적으로 들어가면 텐서를
벡터를 여러개 받아서 스칼라를 대응시켜주는 다중 선형 사상(multilinear map)으로 이해할 수 있음.
선형 사상 자체도 벡터 공간의 원소니 텐서도 벡터 공간의 원소라고 할 수 있음.
참고로 랭크 2 텐서와 행렬의 차이를 구분하는 것도 텐서를 이해하는 데에 중요한 부분인데
주어진 행렬은 세 종류의 랭크 2 텐서에 대응될 수 있음.
벡터 두 개를 받아서 스칼라를 내놓는 (0, 2)-텐서,
벡터 하나를 받아서 벡터 하나를 내놓는 (1, 1)-텐서,
쌍대 벡터(dual vector, covector, 1-form) 두 개를 받아서 스칼라를 내놓는 (2, 0)-텐서.
그리고 위에서 얘기한 좌표 변환에 대해 성분들이 어떻게 변환되는지
이런 얘기들은 일반적으로 다양체(좌표계라는 것을 문제 없이 정의할 수 있는 최대한 일반적인 공간) 위에 정의된 텐서장들을
다른 다양체 위로 당기거나(pullback) 미는(pushforward) 행위에 해당함.
이런 얘기들은 고급 선형대수나 미분기하 책에서 엄밀하게 다루지만,
물리 공부하는 대부분의 학생들은 그렇게까지 할 필요는 없을 것 같고
빠르고 효율적으로 이해하고 싶으면 약간 수준 있는 일반상대론 책을 보면 됨. (carroll이나 david tong 추천)
텐서를 잘 이해하는 것은 물리학, 특히 이론적인 부분을 이해하는데 매우 중요한 것 같음.
양자역학에서도 위그너-에카르트 정리 등이 무슨 말인지
제대로 이해하려면 결국 고전적인 회전 변환에 대한 텐서의 개념을
잘 알고 있는 것이 중요함.
(그리피스 전자기학이나 다른 역학, 전자기학 교재들 1장에서 쉽고 뻔해보이는 회전 변환에 대한 얘기를 다 한 번씩 다루는 이유가 이거임.
이 책에서 사용할 스칼라, 벡터, 텐서의 개념을 1장에서 정의하겠다는 것임.)
뭐 물어봐도 됨? 일반상대론 공부중인데 일반적인 미분다양체 M의 탄젠트공간을 f:M -> R 인 함수들에 취해질 수 있는 방향미분집합으로 정의하던데 왜 그게 우리가 직관적으로 상상할 수 있는 R^3 에서의 접평면 개념의 일반화인지 잘 이해가 안됨
좌표 x^μ가 주어진 다양체 M 위의 함수 f의 방향 미분이 결국 M 위의 어떤 곡선 C(t) := x^μ(t)가 있을 때 C를 따라가며 C 위에서의 f(x^μ)의 함숫값들의 변화량을 매개변수 t의 변화량으로 나눈 것의 극한으로 체인룰 쓰면 df/dt = (a_μf)(dx^μ/dt)와 같은데 이게 곡선 C의 해당 점에서의 접벡터(속도벡터)임.
공간 곡선을 따른 미분이 곡선의 접벡터가 된다는 것은 미적분학이나 미분기하의 곡선론에도 나오는 얘기임. 그럼 M 위의 점 p를 지나는 모든 곡선들의 p에서의 접벡터를 정의할 수 있을 거고 이들은 M의 차원과 같은 차원의 벡터공간을 이룸. 이 벡터공간을 접공간 T_pM이라고 함.
어떤 매개변수 t를 이용해 정의된 다양체 위의 곡선 c(t)가 있을 때 dc/dt 가 곡선의 탄젠트 벡터가 된다는 것은 직관적으로도 당연해 보이는데, 그럼 그냥 P를 지나는 임의의 곡선에 대한 탄젠트 벡터의 집합으로 탄젠트공간을 정의하지 않고, 다양체에서 실수로 가는 f가 탄젠트공간의 정의에 등장해야 하는 이유를 잘 모르겠음
내 생각에 그건 기하학을 외재적 관점(미적분학이나 고전적인 미분기하의 곡선론, 곡면론과 같이 도형을 R^3 안에 넣고 벡터값 함수를 이용해 표현하는 관점)에서 하느냐, 내재적 관점(다양체 이론과 같이 도형보다 차원이 높은 외부 공간의 존재를 잊고 도형의 내재적 성질로부터 필요한 구조들을 모두 정의하는 관점)에서 하느냐의 차이에서 오는 것 같음.
곡선론에서 1차원 다양체인 곡선 C의 접벡터는 C를 벡터값 함수 [r](t) = {x^i(t)}: R -> R^3로 표현하고 이것의 미분을 계산해서 구함. 근데 이건 사실 R^3의 구조를 이용하는 것임. [r] = x^i e_i라는 표현 자체가 그러함. e_i도 R^3의 베이시스지 C로부터 정의된 베이시스가 아님. 2차원 다양체인 곡면의 경우도 마찬가지고.
외재적 기하에서는 곡면을 xy 평면의 열린 영역 D 위에서 정의된 함수 z = f(x, y)의 그래프로 생각하거나 2변수 벡터값 함수 [r](u, v) = {x^i(u, v)}: D -> R^3의 종점의 자취로 생각할텐데 이것들 모두 다양체를 다루는 관점하고는 다름. 동일한 상황을 다양체 다루듯이 생각하면 2차원 영역 D라는 다양체가 있고
코디네이트 차트는 φ: D -> R^2인 매끄러운 사상일 것이고 좌표계가 (u, v)나 (x, y) 따위로 표현되는 것임. 그럼 다양체 D 위에 함수 f(x, y)를 정의할 수 있을 거고 f(x, y)의 D 위에서의 방향 미분은 D에 접하는 2차원 벡터가 될 것임. 예를 들어 f의 그래디언트는 축 하나를 추가하여 f를 그래프로 시각화했을 때 f의 등고선에
수직인 벡터장이 된다던가 하는 식으로. 그럼 우리는 D 위에서 정의할 수 있는 방법만으로 D 위의 벡터장을 정의한 것임. 지금 D를 xy 평면의 열린 영역으로만 생각한다면 평면이라서 잘 느낌이 안 올 수 있는데 D는 그냥 다양체의 정의대로 R^2랑 국소적으로 동형인 위상 공간이라고 생각해야 함.
무슨 말인지 전달이 됐는지 모르겠네. 나도 수학 전공이 아니라 그냥 이미지만 전달하는 정도로 밖에는 설명을 못하겠음. 엄밀한 설명은 수잘갤 같은 곳에 가서 물어보는 게 좋을 것 같음. 근데 요지는 벡터를 내재적으로 정의해야 한다는 거지.
미분 다양체 D가 존재하면 다양체의 정의상 국소적으로 R^2와 동형일테니 국소좌표계는 문제 없이 정의되고, D 위의 함수 f도 문제 없이 정의되고, f의 미분도 국소좌표계의 좌표변수를 이용하면 문제 없이 계산할 수 있음.
그러니까 우리가 2차원 곡면을 표현할 때 주로 2변수 함수의 그래프 z = f(x, y)나 2변수 벡터값 함수로 표현을 했었는데 사실 여기서 주인공이 되는 다양체는 이들의 정의역에 해당하는 2차원 공간이고 그래프 z = f(x, y)는 말 그대로 이 다양체 위에 정의된 함수를 시각화한 것이고, 벡터값 함수는 다양체를 R^3 안에 부분다양체로서
이해는 한 것 같음. 그럼 그렇게 정의된 탄젠트공간의 basis를 무언가 실체(?) 가 있는 양이 아니라 differential operator (d/dt, d/dx, d/dy, d/dz) 인 채로 남겨두는 것은 어차피 결국 원폼같이 듀얼공간에 있는 애들이랑 만났을 때 주는 결과가 중요하기 때문이라고 이해해도 됨?
집어넣은 것에 해당함. 헷갈릴 수 있는데 그래프 z = f(x, y)를 표현하는 곡면과 f(x, y)의 정의역이 되는 2차원 다양체는 다른 대상이고, 그래프의 접벡터나 벡터값 함수로 표현된 경우의 접벡터를 구하는 방법은 R^3의 구조에 의존하는 외재적인 방법임.
ㄴㄴ글쎄 그건 잘 모르겠는데 내 생각엔 그냥 표기법 같은데. 예를 들어 X_t나 V_t, e_t 따위로 표현해도 문제될 건 전혀 없음. 그리고 미분 연산자니까 미분 연산자로 쓰는 것 아닌가. 일반상대론 하다보면 tetrad라고 미분 연산자로 표현되는 좌표 기저 말고 오소노말한 기저 벡터를 잡아서 사용하기도 함.
음 그러니까 님 표현대로 얘기하면 난 그냥 미분연산자가 벡터의 실체 자체라고 이해하고 있는 듯. 좌표변환 룰도 체인룰 시켜보면 벡터 그 자체고.
근데 벡터란 용어 자체가 워낙 넓은 의미로 사용되니까.. 난 그냥 다양체나 기하학에서의 벡터는 일단은 미분 연산자고(실제로 그렇게 하는 게 내재적인 정의를 하는 방법이니까) 얘들은 좌표 구조를 통해서 정의되었으며 좌표곡선에 접하므로 좌표 베이시스라고 불리고 리 브라켓이 가환이다, 일반적인 벡터(좌표 곡선이 아닌 임의의 곡선에 대한 접벡터)는 이들의 일차결합
으로 주어지며 이들은 리 브라켓이 0이 아니다. 또한 반드시 좌표 베이시스를 고집할 필요는 없고 tetrad 등 다른 베이시스를 잡는 포멀리즘도 존재한다. 정도로 생각하고 있음. 1-form에 대해서도 마찬가지로 좌표 베이시스 dx^μ 대신 오소노말한 베이시스 θ^a를 쓸 수 있음
선형대수에서 듀얼공간 공부하면서 듀얼공간은 벡터공간 V의 원소들에게 취해질 수 있는 선형 펑셔널들의 집합 V*={f | f:V->R } 이고, 듀얼공간의 듀얼공간을 생각했을 때 V** 랑 V 사이에 V* 에서의 기저선택과 무관한 일대일 대응이 존재하기 때문에 V 와 V**를 '같다고 볼 수 있다'고 배웠었는데, 그런 관점에서 V의 원소 v를 [본인에게 취해질 수 있는 펑셔널 f] 에 취해질 수 있는 펑셔널 v(f) 로 다시 표현한게 미분연산자 표현인 줄 알았는데 차이가 있는건가
ㅇㅎ 무슨 말인지 알 것 같은데 님이 쓴 표현에서 f는 일단 다양체 M 위의 함수가 아니라 말하자면 T_pM 위의 선형 함수잖음? 두 f는 다른 대상임 (f에 작용하는 연산자라는 점에서 미분 연산자 표현이랑 동일시하고 있는 것 같은데 맞음?) 그리고 선형대수에서 말하는 얘기는 꼭 다양체 위의 벡터에 대해서만 국한된 얘기가 아니고 일반적인 얘기임.
그냥 정의대로 받아들이면 되는데 내가 너무 '크기랑 방향을 갖는 화살표' 랑 정의상 Tp의 원소인 미분연산자 사이에 연관성을 찾으려고 하는 것 같다는 생각도 듦. 저학년때 수리물리 공부할때도 differntial form 단원은 잘 이해 못하고 웨지연산, 호지듀얼 등 연산 규칙만 외우고 넘어갔었는데, 상대론 더 공부하면서 실제로 어케쓰이는지 직접 보면 더 명확해질까..
어쨌든 이렇게 자세하게 답변받을거라고 기대안했었는데, 정성들여 답해줘서 고마움. 문답하면서 확실히 새로 이해하게된 부분도 있고 도움이 많이 됐음
ㅇㅇ 직접 써보면 또 느낌이 다를 거임 저학년때랑 지금이랑 다르기도 하고. 무슨 책으로 공부함? 그리고 나는 물리학에서의 벡터는 어떤 분야 어떤 맥락에서 나오는 것이든 크기랑 방향을 갖는 화살표의 이미지라고 생각하는 사람인데. 다양체 위의 미분 연산자도 화살표 아닌가?
수리물리는 보아스랑 아프켄 둘다 봤고 상대론은 캐롤 보는중임
본문에 있는 짤에도 써놓은 것처럼 물리학에서의 벡터는 화살표, 수학에서의 벡터는 벡터공간의 원소라고 생각하고, 전자가 후자보다 좁은 개념이라고 생각함. 일단 화살표라는 말의 의미는 회전 변환에 변환되는 규칙을 보면 기저 벡터의 회전(공변변환)에 따른 효과를 상쇄해서 기저와 성분의 일차결합은 동일한 방향을 가리키고 있도록 성분이 변환(반변변환)되어야 함.
이러한 변환 규칙은 표현론에서든 기하학에서든 물리학과 관련된 분야의 어디서든 벡터의 정의고 벡터의 아이덴티티로 등장하는 성질임. 벡터공간의 원소들 중에서 그렇게 변환되는 놈만이 벡터로 취급해주겠다는 얘기고. 근데 저게 결국 좌표계를 어떻게 잡느냐에 크기와 방향이 영향을 받지 않는 화살표의 이미지잖음.
수학자들은 벡터 취급하지만 물리학자는 벡터 취급 안 하는 놈은 예를 들어 정사각행렬이 있겠지. 얘는 벡터처럼 V' = RV 꼴로 변환 안 함. 행렬의 기저는 기저 벡터 두 개의 텐서곱으로 정의되고 이 두 기저 벡터가 각각 독립적으로 좌표 변환을 먹기 때문에 변환행렬이 두 개가 필요하고, 따라서 성분의 변환에도 변환행렬 두 개가 필요하고 결과적으로
아 그런의미에서는 화살표로 이미징이 가능하다고 생각함. 위에서말한건 음.. R^3를 생각했을 때 naive 하게는 같다고 보이지 않는 R^3에서의 기저벡터 xhat과 미분연산자 d/dx 사이의 연관성을 의미하는거였음. 그리고 이 둘의 연관성을 R^3 에서 R로 가는 임의의 선형변환 f 입장에서는 f(xhat) 이나 x축 위에서의 방향미분 df/dx나 같기 때문에 같다고 보는거 아닐까.. 상상한거고
A -> A' = R^tAR 과 같은 꼴로 변환됨. 이건 물리학자들이 보기엔 명백히 벡터의 변환 규칙이 아니고 화살표의 심상도 아님. 물리학자들은 이런 놈들을 랭크 2 텐서라고 부름. 스피너도 마찬가지로 수학자들이 보기엔 벡터 공간의 원소이므로 벡터라고 불릴 자격이 충분하지만 물리학자들이 보기엔 한바퀴 회전 변환을 먹이면 부호가 반대가 되는 이상한 놈임.
그런 맥락에서 스피너는 평범한 화살표가 아니지. 우리가 아는 화살표는 한바퀴 돌리면 제자리로 돌아와서 돌리기 전과 동일한 방향을 가리키고 있어야 하니까.
ㄴㄴ ㅇㅎ 아마 일반상대론 공부하다보면 xhat이랑 d/dx를 자연스럽게 같은 것으로 취급하게 될 거임ㅋㅋ 민코프스키 시공간에서만 생각해봐도 d/dt의 성분은 (1, 0, 0, 0), d/dx의 성분은 (0, 1, 0, 0), ... 으로 표현되기도 하고 굳이 둘을 구분할 필요가 없는 것 같음
먼 재밌는 이야기하고 있냐?