괴델의 불완전성 정리(영어: Gödel’s incompleteness theorems)는 수리논리학에서 페아노 공리계를 포함하는


모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.(출처:위키백과)



위의 정리는 결론을 이해하는 것도 힘들고, 증명을 이해하는 것도 힘들 수 있습니다. 그런데 그 증명이 옳다는 것을 알고 있기 때문에


다른 증명이나 예시를 통해서 괴델의 불완전성정리가 의미하는 것이 무엇인지는 좀 더 쉽게 이해할 수 있는 방법이 있습니다.


쉽게 말해서 답이 있다는 것을 알게되면 그것을 다른식으로 쉽게 이해하는 방법을 찾을 수 있다는 겁니다.


먼저 '모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없다.' 부터 이해해봅시다.


무모순이라는 것은 쉽게 말해서 특별한 경우를 인정하지 않는 일반화를 의미합니다.


예를 들어 '모든 변화는 연속이다'의 공리의 경우 '모든' 이란 단어가 들어갔기 때문에 일반화가 되었다는 것이죠.


다시 말해서 '미시입자는 불연속으로 변화하고 거시입자는 연속으로 변화한다' 라는 전제는 모순적이지만


위의 "모든'이 들어간 경우는 모순적이지 않고 일반화된 무모순의 명제라는 것입니다.


따라서 상대론의 공리가 '모든 변화는 연속이다' 라면 불연속으로 변화하는 '참인 현상'이 있을 경우 그것을 증명(설명)할 수 없다는 것이죠.



다음은 '무모순적인 공리계는 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.' 를 이해해 봅시다.


제 설명을 이해하신 분들은 모순성이라는 것은 기준에 따라 달라지는 상대성이라고 이해할 수 있을 겁니다.


결국 무모순성이란 무상대성이며 즉, 무모순적 공리계는 스스로 상대성이 없다는 것을 증명할 수 없다는 의미가 됩니다.


그런데 전에 설명했듯이 '모든 (입자성을 가진 것들의) 변화는 연속이다' 란 공리를 가진 상대론의 경우 시간의 상대성(모순성)이 있었고


'모든 (입자성을 가진 것들의) 변화는 불연속이다'라는 공리를 가진 경우 질량의 상대성이란 모순성이 생기게 됩니다.


따라서 인간이 무모순적 공리계라 생각하는 공리계는 모순성이 없다는 것을 증명할 수 없고 오히려 모순성이 있다는 겁니다.


수학적인 예를 들자면 수학의 경우 어떤 점을 좌표의 기준으로 삼느냐에 다른 좌표들의 값도 달라지는 것을 들 수 있겠죠.


결국 어떤 공리계가 무모순적으로 일반화 될 경우 괴델의 정리가 옳다는 겁니다.




이곳의 사이비스런 전공자들이 저에게 변화가 불연속이라는 증거를 대라고 하는데 저는 분명 이곳에서 증거(근거)들을 댔습니다.


빛이 절대속도는 변화의 불연속성으로 더 자연스럽다와 미시입자는 불연속 변화, 거시입자는 연속변화라는 것은 특별한 가정이며


입자라면 둘다 연속으로 변화하거나 둘다 불연속이어야 하는데 미시입자가 이미 불연속이므로 거시도 불연속이다라는 것등등하여


설명을 했었죠. 그런데도 장님이나 난독증마냥 증거증거거리고 있습니다. 그렇다면 되묻겠습니다.


입자의 변화가 연속이라는 증거를 한가지만 대보세요. 아마 대지 못할 겁니다. 왜 스스로 증거없이 믿고있는 것들은 생각도 하지 않으면서


저에게 내로남불을 하는지 잘 이해가 되지 않습니다. 물론 이러한 경우를 보통 광신도들에게서 자주 볼수있긴합니다만


자연과학을 공부한다는 인간들이 그러는 것이 도무지 이해가 가지 않는다는 것이죠.


그러니 저에게 증거를 대라고 하기보단 먼저 입자의 변화가 연속이란 증거를 한번 대보시길 바랍니다.


사실 수학의 경우, 예를 들어 피타고라스의 정리를 생각해보면 왜 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은


다른 두변의 길이의 제곱의 합과 같을까에 대해서 생각해본 적이 있나요? 우리는 사실 왜 그런지 알수없습니다.


그냥 그렇게 증명이 되기 때문이라고 밖에 설명할수 없죠. 즉, 어떤 공리체계에서는 왜그런지 알수없지만 그냥 그렇게 증명이 되는게 있습니다.


그런데 왜 그런지의 철학적인 의문을 그부분에서 갖게 되면 도무지 설명을 할 수가 없게 되죠. 이처럼 수학에 익숙한 자연과학을 공부하는


학생들은 왜라는 의문을 갖는 능력이 거세가 된 것 마냥 의심을 하지 않는 경우가 많습니다.


하지만 철학은 왜 그런지를 궁금해 함으로써 기존의 공리나 원리를 이해하게 만들어주며


기존의 공리나 원리가 더이상 공리나 원리가 아니게 만들어 공리나 원리를 전보다 줄여갈 수 있게 만들어 주기도 합니다.


즉, 제가 철학적으로 사유했던 이유도 그런 이유이고 말이죠. 빛이 왜 절대속도일까요? 저는 분명 설명했습니다.


이제는 왜 빛이 절대속도인지를 간단하게 설명할 수 있게 되었다는 것이죠.


그런데 물리학자들의 설명은 도대체 무엇인가요? 자연이 그러하니 그냥 그렇게 받아들이자가 전부입니다.