새롭게 수열을 정의하고, 그로부터 수의 시스템을 창조한다.
- 신촌우왕 박찬우
박찬우 공리계(1)
새로운 유한수열과 무한수열의 정의
페아노가 그의 공리들을 만들 당시
수리논리학의 언어는 요람기에 있었다고 한다.
엄밀성의 관점에서 본다면
페아노 공리계는
수열의 관점에서 볼 때
자연수열에 한정된 것으로 볼 수 있다.
그러나
수열은 자연수열만 있는 것이 아니다.
따라서
자연수열에 한정된
페아노 공리계를
일반수열에 적용된
공리계까지 확장할 필요가 있다.
이에
유한수열과
무한수열에 대한
새로운 정의가 필요하다.
다행히
나는
유한수열과 무한수열을
재귀적으로 정의하는 데 성공하였다.
유한수열과 무한수열의 새로운 정의를 바탕으로
수학의 언어를
기초부터 다시 세우고자 한다.
우리는 수를 이용하고 있지만
그 체계를 어떻게 이루어내야 하는 지에 대해
고민해봐야 한다.
수열이란 무엇인가?
물론
간단히 말하면 수의 나열이다.
그러나
나는 다음과 같이
수열을 정의하고자 한다.
수열은
유한수열과
무한수열이 있다.
둘은
수를 나열한다는 관점에서 같지만
그 정의는 같을 수가 없다.
유한수열의 경우
극단적으로
항의 갯수가 한 개인 경우가 있다.
이 경우
분명 무한수열이 아니다.
그래서
유한수열과
무한수열의
정의가 다를 수 밖에 없다.
나는
재귀적으로
유한수열과
무한수열을
다음과 같이
정의하였다.
아래에서 볼 수 있듯이
유한수열의 경우
k가 중괄호의 윗첨자에 위치하고,
무한수열의 경우
k가 중괄호의 아래첨자에 위치한다.
유한수열의 경우
기본적으로 1이 나타나고
무한수열의 경우
기본적으로 ∞가 나타난다.
유한수열과
무한수열의
재귀적 정의
및
그 전개 과정을
가장 먼저 소개한다.
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개병신
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