페르마의 마지막 정리와 양-밀스질량간극 가설을 증명할 수 있었던 이유

[부기우(booogiu)]

[시리즈] 현대 자연 철학

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(수학적) 일반화와 대칭성이란?

 

제가 페르마의 마지막 정리와 양-밀스 질량 간극 가설을 증명할 수 있었던 이유는 위의 링크에서와 같은 생각을 해왔었기 때문입니다.

<완전론>의 요약본에서 저는 위의 링크에서와 같이 독자분들에게 질문했었죠. 이는 수체계에도 차원을 줄 수 있을까란 

아이디어와 같았다는 것이죠. 그리고 제 결론은 다음과 같았습니다.

1. 일반화를 통한 확장을 계속 하면 반드시 모순적인 체계(초일관적 체계)에 도달하는가?

2. 1이 아니라면 그럼 최소한 몇번의 확장을 통해서 모순적인 체계에 도달할 수 있는가? 답은 4번이 아닐까 합니다

ex) 복소수까지 몇번의 체계확장이 있었는가? (4번이죠?), 제 설명의 차원의 확장도 결국 4번입니다.

3. 일반화란 그렇다면 수학적으로 무엇을 의미하는가? 수체계 확장이 이를테면 일반화일까요?

혹시 생각해보신 분들이 있으려나 모르겠습니다. 저는 관련해서 나름대로의 결론에 도달했습니다.

위의 모든 질문을 해결했다고 보기는 힘들지만 말이죠. 아무튼 설명을 한번 해보겠습니다.

익숙한 대칭을 한번 나열해보자면 광속대칭, 운동량 대칭, 에너지 대칭, 좌우 대칭, 상하 대칭, 회전 대칭, 시간 대칭 등등이 있을 겁니다.

대칭성이란 결국 어떤 변화에도 대칭성이 있는 것은 그 변화에도 변화하지 않는 다는 것이죠.

수학적으로는 1차원의 수직선의 경우 0을 중심으로 좌우를 바꾸어도 대칭성이 유지 될 겁니다. 그럼 1차원은 좌우 대칭이 되는 것이죠. 

그럼 다음의 대칭은 무엇일까요? 상하 대칭일까요? 사실 좌우가 있고 또 위와 아래가 있다는 것은 3차원적인 개념이라 순서에

맞지 않습니다. 결국 다음 대칭은 회전 대칭입니다. 2차원의 경우 (좌우대칭) + 회전 대칭성이 있을 수 있게 됩니다. 

그 다음은 앞서 설명한 상하 대칭성이고요. 그럼 그 다음은 (물리학적으로) 시간대칭성입니다. 

또 제가 말한 그 어떠한 변화에도 대칭성을 가진게 5차원이라고 생각할 수 있게 됩니다.

그런데 이러한 제 설명을 간단하게 수로 표현할 수 있습니다. 

i=i , i^2=-1, i^3=-i, i^4=+1, i^5=i

결국 허수 i는 5번의 제곱을 통해서 i가 되어 처음과 같아 졌습니다. 즉, 4번의 변화에 처음과 같아지는 대칭성이 생겼다는 것이죠.

그런데 왜 i의 차수가 변화하는 것을 차원의 확장으로 볼 수 있을까요? 같은 질문일 수도 있지만 왜 i가 그런 성질을 가졌을까요?

일단 회전 대칭의 경우 i를 쓰는 것이 수학에 익숙하신 분들에게는 상식입니다. 하지만 허수가 의미하는 것은 회전이 다가

아니란 것이죠. 0차원을 기준으로 1차원이란 허수적인 개념입니다. 마찬가지로 1차원을 기준으로는 2차원은 허수적인 개념이죠.

이를 일반화 하자면 상위차원은 하위차원을 기준으로 허수적인 개념이란 겁니다. 즉, 차원의 확장이 0차원에서 부터 시작한다는

것이죠. 즉, 0^0은 얼마죠? 사실 이건 불능이죠. 그래서 그냥 아무 수나 r^0제곱하면 1이되는 것이고 그 다음에 대칭 변환(차원확장)

을 하면 i부터 시작한다는 것이죠. 즉, i=i (좌우 대칭) , i^2=-1 (회전 대칭), i^3=-i (상하 대칭), i^4=+1 (시간 대칭), i^5=i (?)이

됩니다. 그런데 결국 이런 모든 대칭 변환이란 사실 0의 대칭성을 지키는 것이죠. 즉, 0은 모든 변화에 대칭성을 가질 수 있다는 것이죠.

일반화란 것도 결국 하위차원의 대칭성을 포함하면서 동시에 하위차원과 다른 대칭성을 가진 것을 일반화라고 정의할 수 있게 됩니다.